等腰三角形的周长，等底等高的三角形周长如何最短

在等底等高的三角形中，以等腰三角形的周长最短. 如何证明？

如下图，两直线m∥n，点A在直线a上，点B和C在直线b上，△ABC是等腰三角形，AB=AC，点D是直线a上任意一点（A、D不重合）.求证：△ABC的周长一定小于△DBC的周长.

分析：△ABC和△DBC中，BC是公共边，因此要证明两个三角形的周长，只要比较AB+AC与DB+DC的大小即可.

证明：作点C关于直线a的对称点C\’，连接AC\’，DC\’，如下图所示：

∵∠CAC\’=2∠ACB=∠ABC+∠ACB，∴∠BAC\’=180°，而∠BDC\’≠180°，∴DBC\’构成三角形，从而BD+DC\’＞BC\’. ∵DC\’=DC，AC\’=AC，∴ BD+DC＞AB+AC，BD+DC+BC＞AB+AC+BC，即△ABC的周长小于△DBC的周长.

本题也可以改为：在等底等面积的三角形中，以等腰三角形的周长最短.怎样证明？

分析：两个三角形只要等底等面积，其实就是等高，和上题本质上是一样的，只不过换了一种说法而已.

【总结】本题用到了转化的数学思想，先把比较两个三角形周长大小问题，转化为证明线段之和最小值问题，通过对称变换把折线AB+AC化成了一条线段BC\’（化折为直），同时又把条件集中到△BDC\’中来了.其中，证明线段之和最小值问题就是著名的“将军饮马”模型.

简单回顾一下“将军饮马”模型

求解两条线段和的最小值或两条线段差的最大值问题，用到最基本的原理就是“两点之间线段最短”，最基本的图形就是“将军饮马模型”，即已知一条直线l和直线l同旁的两个定点(A、B)，要求直线l上一动点C，使得两条线段和最小或两条线段的差最大，方法如下图：通过作点A(或点B)关于直线l的称点A′(或点B′)，连接A′B(或B′A)与直线l交点即为所求点C(两条线段和的最小值)；连接BA，延长BA交l于点C′，点C′即为所求点(两条线段差的最大值)．

（另：两条线段和最小值问题已经在前面《最值问题中一个基本的模型——探讨线段和最小值问题》中详细探讨过，读者可以关注“胡不归数学课堂”翻看）